2016 年考研数学（三） 第 14 题

「取到全部种类恰好第 $k$ 次停止」型 → 拆成「前 $k-1$ 次恰缺一种颜色（其余都出现）」且「第 $k$ 次取到缺的那种」。坑：前 $3$ 次必须两种颜色都出现（不能只 1 种），用 $2^3-2$ 或排列计数。

本题考查古典概型与「停止时刻」事件的刻画。 每次取球等可能取到红/白/黑，概率各 $\frac{1}{3}$，各次独立。「取球次数恰好为 $4$」意味着：前 $3$ 次只出现两种颜色，第 $4$ 次取到剩下的第三种颜色。

以第 $4$ 次取到的颜色分类（${\mathrm{C}}_3^1$ 种选择），例如第 $4$ 次取红球，则前 $3$ 次只能是白、黑两色且两色都出现：即「两白一黑」或「一白两黑」，其排列数为 ${\mathrm{C}}_3^1\times {\mathrm{A}}_2^2$（选哪一次是少数色 $\times$ 两色排列）。

总样本数 $3^4$，有利数 $={\mathrm{C}}_3^1\times ({\mathrm{C}}_3^1\times {\mathrm{A}}_2^2)$，故 $p=\frac{{\mathrm{C}}_3^1\times {\mathrm{C}}_3^1\times {\mathrm{A}}_2^2}{3^4}=\frac{3\times 3\times 2}{81}=\frac{2}{9}$。