2016 年考研数学（三） 第 15 题

$1^{\infty }$ 幂指极限 → 取对数变 ${\mathrm{e}}^{\lim \frac{\ln (\text{底})}{\cdots }}$，再用 $\ln (1+u)\sim u$，分子分母都要展到与分母同阶（这里 $x^4$）。坑：$\cos 2x$ 与 $2x\sin x$ 的 $x^2$ 项恰好抵消，必须展到 $x^4$ 才出结果 $\frac{1}{3}$。

本题考查 $1^{\infty }$ 型幂指极限（取对数化为 $\frac{0}{0}$，用泰勒展开）。 记 $L={\lim }_{x\to 0}(\cos 2x+2x\sin x{)}^{1/x^4}$，则 $\ln L=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (\cos 2x+2x\sin x)}{x^4}$。

用 $\ln (1+u)\sim u$（$u=\cos 2x+2x\sin x-1\to 0$）把对数去掉：$\ln L=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos 2x+2x\sin x-1}{x^4}$。

泰勒展开到 $x^4$：$\cos 2x=1-2x^2+\frac{2}{3}{x}^4+o(x^4)$，$2x\sin x=2x^2-\frac{1}{3}{x}^4+o(x^4)$。相加得 $\cos 2x+2x\sin x-1=\frac{1}{3}{x}^4+o(x^4)$。

故 $\ln L=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{1}{3}{x}^4}{x^4}=\frac{1}{3}$，从而 $L={\mathrm{e}}^{1/3}$。