2016 年考研数学（三） 第 16 题

给需求弹性求需求函数 → 由 $\eta =-\frac{p}{Q}\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}p}$ 列可分离变量 ODE 求解，用最大需求量定常数。边际收益 = $\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}Q}$（对销量求导，不是对价格！），先把 $R=pQ$ 化成 $Q$ 的函数。坑：$p=100\Rightarrow Q=200$，答案 80 表示第 201 件的增收。

本题考查需求弹性、由弹性建立并求解微分方程、以及边际收益的经济意义。 需求弹性 $\eta =-\frac{\mathrm{d}Q/\mathrm{d}p}{Q/p}=-\frac{p}{Q}\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}p}$。

（Ⅰ） 由 $-\frac{p}{Q}\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}p}=\frac{p}{120-p}$ 得可分离变量方程 $\frac{\mathrm{d}Q}{Q}=-\frac{\mathrm{d}p}{120-p}$。积分得 $\ln Q=\ln (120-p)+C_1$，即 $Q=C(120-p)$。由「最大需求量 1200」（$p=0$ 时 $Q=1200$）得 $C=10$，故 $Q=1200-10p$。

（Ⅱ） 收益 $R=pQ$。由 $Q=1200-10p$ 得 $p=120-\frac{Q}{10}$，故 $R=pQ=120Q-\frac{Q^2}{10}$，边际收益 $R^{\prime }(Q)=120-\frac{Q}{5}$。当 $p=100$ 时 $Q=200$，$R^{\prime }(200)=120-40=80$。

经济意义： 当销售量为 200 件（单价 100 万元）时，再多销售一件（即第 201 件）商品，收益约增加 80 万元。