2016 年考研数学（三） 第 17 题

$f(x)={\int }_0^1|t^2-x^2|\mathrm{d}t$ 型（参数在被积函数里）→ 按分点 $t=x$ 是否落在 $[0,1]$ 内分段去绝对值，得到分段的 $f(x)$，再分段求导找极值。坑：$x\ge 1$ 时分点跑出区间、无需拆；在衔接点 $x=1$ 验证导数连续。

本题考查含绝对值的含参定积分（分段去绝对值）与求最值。 积分变量是 $t\in [0,1]$，$x>0$ 是参数。$|t^2-x^2|$ 在 $t=x$ 处变号，需按 $x$ 与 $1$ 的大小分段。

当 $0<x<1$： $f(x)={\int }_0^x(x^2-t^2)\mathrm{d}t+{\int }_x^1(t^2-x^2)\mathrm{d}t=(x^3-\frac{x^3}{3})+(\frac{1-x^3}{3}-x^2(1-x))=\frac{4}{3}{x}^3-x^2+\frac{1}{3}$。

当 $x\ge 1$： 此时 $t\le 1\le x$，$|t^2-x^2|=x^2-t^2$，$f(x)={\int }_0^1(x^2-t^2)\mathrm{d}t=x^2-\frac{1}{3}$。

求导得 $f^{\prime }(x)=\{\begin{array}{ll}4x^2-2x,& 0<x<1\\ 2x,& x\ge 1\end{array}$（在 $x=1$ 处左右导数均为 $2$，$f^{\prime }(1)=2$）。令 $f^{\prime }(x)=0$（$0<x<1$）得 $x=\frac{1}{2}$；$0<x<\frac{1}{2}$ 时 $f^{\prime }<0$、$x>\frac{1}{2}$ 时 $f^{\prime }>0$，故 $x=\frac{1}{2}$ 为最小值点，$f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{4}{3}\cdot \frac{1}{8}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}=\frac{1}{4}$。