2016 年考研数学（三） 第 18 题

积分方程求 $f$ → 先用换元/拆项把变限积分标准化，再逐次求导化成微分方程；每求导一次用一个「代 $x=0$」的初值。坑：卷积项 ${\int }_0^x(x-t)f(t)\mathrm{d}t$ 求导两次才出 $f$；最终一阶线性 $f^{\prime }-f={\mathrm{e}}^{-x}$ 用积分因子 ${\mathrm{e}}^{-x}$。

本题考查积分方程化为微分方程（变限积分求导 + 一阶线性 ODE）。 先统一两侧的卷积型积分。左端令 $u=x-t$：${\int }_0^{x}f(x-t)\mathrm{d}t={\int }_0^{x}f(u)\mathrm{d}u$。右端 ${\int }_0^x(x-t)f(t)\mathrm{d}t=x{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t-{\int }_0^{x}tf(t)\mathrm{d}t$。

方程化为 ${\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t=x{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t-{\int }_0^{x}tf(t)\mathrm{d}t+{\mathrm{e}}^{-x}-1$。两边对 $x$ 求导（右端第二、三项求导后 $xf(x)$ 相消）：$f(x)={\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t-{\mathrm{e}}^{-x}$。

再求导得一阶线性方程 $f^{\prime }(x)-f(x)={\mathrm{e}}^{-x}$。通解 $f(x)={\mathrm{e}}^x(\int {\mathrm{e}}^{-x}{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x+C)=C{\mathrm{e}}^x-\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{-x}$。

由 $f(x)={\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t-{\mathrm{e}}^{-x}$ 取 $x=0$ 得初值 $f(0)=-1$，代入得 $C-\frac{1}{2}=-1$，$C=-\frac{1}{2}$。故 $f(x)=-\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^x-\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{-x}=-\frac{{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}}{2}$。