2016 年考研数学（三） 第 19 题

分母含 $(n+1)(2n+1)$ 的幂级数求和 → 逐项求导两次消去分母得几何级数，再从 $S(0),S^{\prime }(0)$ 积分回去。坑：先定收敛域，求导只在开区间 $(-1,1)$ 内合法，端点 $\pm 1$ 的和用连续性取极限（$2\ln 2$）。

本题考查幂级数的收敛域与逐项微分/积分求和函数。 相邻项之比 $\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=\frac{(n+1)(2n+1)}{(n+2)(2n+3)}{x}^2\to x^2$，故 $|x|<1$ 收敛、$|x|>1$ 发散，收敛半径 $R=1$。端点 $x=\pm 1$ 时通项 $\frac{1}{(n+1)(2n+1)}\sim \frac{1}{2n^2}$，级数收敛，故收敛域为 $[-1,1]$。

设 $S(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^{2n+2}}{(n+1)(2n+1)}$。逐项求导两次（$-1<x<1$）：$S^{\prime }(x)=2\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$，$S^{\prime \prime }(x)=2\sum _{n=0}^{\infty }{x}^{2n}=\frac{2}{1-x^2}$。

由 $S(0)=0,S^{\prime }(0)=0$ 积分回去：$S^{\prime }(x)={\int }_0^x\frac{2}{1-x^2}\mathrm{d}x=\ln (1+x)-\ln (1-x)$；再积分 $S(x)={\int }_0^x{S}^{\prime }(x)\mathrm{d}x=(1+x)\ln (1+x)+(1-x)\ln (1-x)$（$-1<x<1$）。

端点由和函数连续性取极限：$S(1)={\lim }_{x\to 1^{-}}S(x)=2\ln 2$，$S(-1)={\lim }_{x\to -1^{+}}S(x)=2\ln 2$。故 $S(x)=\{\begin{array}{ll}(1+x)\ln (1+x)+(1-x)\ln (1-x),& -1<x<1,\\ 2\ln 2,& x=\pm 1.\end{array}$