2016 年考研数学（三） 第 20 题

「$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{\beta }$ 无解定参数」→ 增广矩阵化阶梯，令主元系数为 0、常数非 0，并排除恰好相容的参数值。法方程 ${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{x}={\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{\beta }$ 必相容，按普通非齐次方程组「特解+基础解系」求通解。坑：$a=2$ 是增根要检验剔除。

本题考查由「无解」定参数（比较秩）与法方程组 ${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{x}={\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{\beta }$ 求通解。

（Ⅰ） 对增广矩阵作行变换：$(\mathbf{A}\mid \mathbf{\beta })\to \left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1-a& 0\\ 0& -1& 2a-1& 1\\ 0& 0& -a^2+2a& a-2\end{array}\right)$。方程无解需 $r(\mathbf{A})\ne r(\mathbf{A}\mid \mathbf{\beta })$，即末行 $-a^2+2a=0$ 而 $a-2\ne 0$，得 $a=0$ 或 $a=2$。当 $a=2$ 时末行系数与常数都为 0，$r(\mathbf{A})=r(\overline{\mathbf{A}})=2<3$ 有无穷多解，与「无解」矛盾，舍去。故 $a=0$。

（Ⅱ） 取 $a=0$：$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 0& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$，算得 ${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}3& 2& 2\\ 2& 2& 2\\ 2& 2& 2\end{array}\right)$，${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{\beta }=\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ -2\end{array}\right)$。

对 $({\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mid {\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{\beta })$ 行化简 $\to \left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 1\\ 0& 1& 1& -2\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$。导出方程 $x_1=1,x_2+x_3=-2$。取 $x_3$ 为自由变量，特解 $(1,-2,0{)}^{\mathrm{T}}$，对应齐次基础解系 $(0,-1,1{)}^{\mathrm{T}}$。故通解 $\mathbf{x}=k(0,-1,1{)}^{\mathrm{T}}+(1,-2,0{)}^{\mathrm{T}}$（$k$ 任意）。