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2016 年考研数学（三） 第 21 题
解答题 · 11 分
已知矩阵 。（Ⅰ）求 ；（Ⅱ）设 阶矩阵 满足 。记 ，将 分别表示为 的线性组合。
提示 1
（Ⅰ）先求特征值（三个互异 ）与特征向量，得 ，则 。提示 2
，注意 特征值使第三行/列归零。提示 3
（Ⅱ）用 反复替换：，于是列向量组 ，系数取自 的对应列。答案与详解
答案 （Ⅰ）；（Ⅱ），，。
思路（为什么这么做）
求 且特征值互异 → 对角化 。遇 用降幂递推得 ，则 的列是 各列（即 ）的线性组合，系数正是 的各列。
解答
本题考查相似对角化求高次幂 ，以及利用 递推。
（Ⅰ） 由 得特征值 ，三个互异故可对角化。分别求得特征向量 （）、（）、（）。令 ，则 。
于是 。
（Ⅱ） 由 递推：。故 ，即 的系数就是 的第 列：
，，。
（Ⅰ） 由 得特征值 ，三个互异故可对角化。分别求得特征向量 （）、（）、（）。令 ，则 。
于是 。
（Ⅱ） 由 递推：。故 ，即 的系数就是 的第 列：
，，。