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2016 年考研数学（三）第 22 题

解答题 · 11 分

设二维随机变量

(X, Y)

在区域

D = {(x, y) ∣ 0 < x < 1, x^{2} < y < x}

上服从均匀分布，令

U = {1, 0, X \leq Y, X > Y .

（Ⅰ）写出

(X, Y)

的概率密度；（Ⅱ）问

U

与

X

是否相互独立？并说明理由；（Ⅲ）求

Z = U + X

的分布函数

F (z)

。

提示 1

（Ⅰ）均匀分布密度 = 1/面积；先算

D

的面积

\int_{0}^{1} (x - x^{2}) d x = \frac{1}{3}

。

提示 2

（Ⅱ）

U

离散、

X

连续，验证独立取一组值：比较

P {U = 0, X \leq \frac{1}{2}}

与

P {U = 0} P {X \leq \frac{1}{2}}

是否相等。注意在

D

内

X > Y

对应

x^{2} < y < x

，

X \leq Y

对应

x < y < x

。

提示 3

（Ⅲ）按

z

分段：

U

只取 0/1，

0 \leq z < 1

只有

U = 0

贡献；

1 \leq z < 2

要加上

U = 1, X \leq z - 1

的概率；积分限用

X > Y

（

y \in (x^{2}, x)

）或

X \leq Y

（

y \in (x, x)

）。

答案与详解

答案（Ⅰ） $f (x, y) = 3$ （ $(x, y) \in D$ ），其余为 0；（Ⅱ） $U$ 与 $X$ 不独立；（Ⅲ） $F (z) = ⎩ ⎨ ⎧ 0, \frac{3}{2} z^{2} - z^{3}, \frac{1}{2} + 2 (z - 1)^{3/2} - \frac{3}{2} (z - 1)^{2}, 1, z < 0, 0 \leq z < 1, 1 \leq z < 2, z \geq 2.$

思路（为什么这么做）

离散+连续混合变量

Z = U + X

求分布函数 → 用全概率按

U

的取值分段，

F (z) = \sum_{u} P {U = u, X \leq z - u}

。独立性用「存在一组值使联合

\neq =

边缘乘积」否定。坑：区域内

X > Y \Leftrightarrow x^{2} < y < x

、

X \leq Y \Leftrightarrow x < y < x

（因

x^{2} < x < x

）。

解答

本题考查二维均匀分布的密度、离散与连续变量的独立性判定、以及 $Z = U + X$ 的分布函数。

（Ⅰ） 区域面积

A = \int_{0}^{1} (x - x^{2}) d x = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}

。均匀分布密度

f (x, y) = \frac{1}{A} = 3

（

(x, y) \in D

），其余为 0。

（Ⅱ） 取验证点。

P {U = 0} = P {X > Y} = \int_{0}^{1} \int_{x^{2}}^{x} 3 d y d x = \frac{1}{2}

；

P {X \leq \frac{1}{2}} = \int_{0}^{1/2} \int_{x^{2}}^{x} 3 d y d x = \frac{2}{2} - \frac{1}{8}

；而联合

P {U = 0, X \leq \frac{1}{2}} = P {X > Y, X \leq \frac{1}{2}} = \int_{0}^{1/2} \int_{x^{2}}^{x} 3 d y d x = \frac{1}{4}

。由于

\frac{1}{4} \neq = \frac{1}{2} \times (\frac{2}{2} - \frac{1}{8})

，故 $U$ 与 $X$ 不独立。

（Ⅲ）

Z = U + X

。当

z < 0

，

F (z) = 0

。当

0 \leq z < 1

：只能

U = 0

，

F (z) = P {X > Y, X \leq z} = \int_{0}^{z} \int_{x^{2}}^{x} 3 d y d x = \frac{3}{2} z^{2} - z^{3}

。

当

1 \leq z < 2

：

F (z) = P {U = 0} + P {U = 1, X \leq z - 1} = \frac{1}{2} + P {X \leq Y, X \leq z - 1} = \frac{1}{2} + \int_{0}^{z - 1} \int_{x}^{x} 3 d y d x = \frac{1}{2} + 2 (z - 1)^{3/2} - \frac{3}{2} (z - 1)^{2}

。当

z \geq 2

，

F (z) = 1

。汇总即得分段的

F (z)

。

考点：二维随机变量函数的分布、随机变量的独立性、二维随机变量与联合分布

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