2016 年考研数学（三） 第 23 题

$T=\max \{X_i\}$ 的分布 → 用 $F_T(t)=[F(t){]}^n$ 再求导。构造无偏估计求 $a$：算出 $E(T)=\frac{n\cdot ?}{}\theta$ 后令 $aE(T)=\theta$。坑：$\max$ 用分布函数幂，$\min$ 才用 $1-[1-F{]}^n$；本题 $E(T)=\frac{9}{10}\theta$，故 $a=\frac{10}{9}$。

本题考查最大值统计量的分布，及构造无偏估计（由 $E(aT)=\theta$ 定 $a$）。 先求总体分布函数：$0\le x<\theta$ 时 $F(x)={\int }_0^x\frac{3u^2}{{\theta }^3}\mathrm{d}u=\frac{x^3}{{\theta }^3}$；$x<0$ 时为 0，$x\ge \theta$ 时为 1。

（Ⅰ） $T=\max \{X_1,X_2,X_3\}$，三样本独立同分布，故 $F_T(t)=P\{T\le t\}=[F(t){]}^3$。当 $0\le t<\theta$ 时 $F_T(t)=\frac{t^9}{{\theta }^9}$。求导得概率密度 $f_T(t)=\frac{9t^8}{{\theta }^9}(0<t<\theta )$，其余为 0。

（Ⅱ） $E(T)={\int }_0^{\theta }t\cdot \frac{9t^8}{{\theta }^9}\mathrm{d}t=\frac{9}{{\theta }^9}\cdot \frac{{\theta }^{10}}{10}=\frac{9}{10}\theta$。由 $E(aT)=aE(T)=\frac{9a}{10}\theta =\theta$，解得 $a=\frac{10}{9}$。