乐思数学通 › 考研数学（三） › 真题检索 › 2015 年

2015 年考研数学（三）第 9 题

填空题 · 4 分

x \to 0 lim \frac{ln ( cos x )}{x ^{2}} =

______.

提示 1

ln (1 + u) \sim u (u \to 0)

，令

u = cos x - 1

。

提示 2

cos x - 1 \sim - \frac{x ^{2}}{2}

。

答案与详解

答案 $- \frac{1}{2}$

思路（为什么这么做）

ln (cos x)

型极限：先

ln (1 + u) \sim u = cos x - 1

，再

cos x - 1 \sim - x^{2} /2

。坑：

ln cos x

不能直接约，要先凑成

ln (1 + u)

。

解答

本题考查用等价无穷小求极限。 当

x \to 0

，

cos x - 1 \sim - \frac{x ^{2}}{2}

，而

ln (cos x) = ln [1 + (cos x - 1)] \sim cos x - 1

。

故

\frac{ln ( cos x )}{x ^{2}} \sim \frac{cos x - 1}{x ^{2}} \to - \frac{1}{2}

。（也可用洛必达：

\frac{- tan x}{2 x} \to - \frac{1}{2}

。）

考点：极限的计算方法综合、等价无穷小替换

← 2015 年全部题目