2015 年考研数学（三） 第 8 题

看到 $E[\sum (X_i-\bar{X}{)}^2]$ 立刻换成 $(n-1)D(X)$（无偏性）。坑：别漏 $n-1$（不是 $n$）；再代对总体方差，$B(m,\theta )$ 是 $m\theta (1-\theta )$ 不是 $\theta (1-\theta )$。

本题考查样本方差的期望：$E(S^2)=D(X)$。 样本方差 $S^2=\frac{1}{n-1}{\sum }_{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2$ 是总体方差的无偏估计，$E(S^2)=D(X)$，从而 $E\left[{\sum }_{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2\right]=(n-1)D(X)$。

二项分布 $B(m,\theta )$ 的方差 $D(X)=m\theta (1-\theta )$。

故 $E\left[\sum (X_i-\bar{X}{)}^2\right]=(n-1)\cdot m\theta (1-\theta )=m(n-1)\theta (1-\theta )$，选 B。