2015 年考研数学（三）第 10 题

填空题 · 4 分

设函数

f (x)

连续，

φ (x) = \int_{0}^{x^{2}} x f (t) d t

。若

φ (1) = 1

，

φ^{'} (1) = 5

，则

f (1) =

______.

提示 1

被积函数里的

x

与积分变量

t

无关，先提到积分号外：

φ = x \int_{0}^{x^{2}} f d t

。

提示 2

对乘积求导，变上限

\int_{0}^{x^{2}} f d t

的导数是

f (x^{2}) \cdot 2 x

。

提示 3

代入

φ (1) = 1

得

\int_{0}^{1} f = 1

，再代

φ^{'} (1) = 5

。

答案与详解

答案 $2$

思路（为什么这么做）

变限积分里混着积分变量外的

x

：先把

x

提出再乘积求导，上限是

x^{2}

要乘

2 x

。坑：

φ^{'}

有两项（积分项 + 边界项），

φ (1)

恰好给出那个积分项的值。

解答

本题考查变上限积分求导（ $x$ 是常数因子可提出，上限 $x^{2}$ 用复合求导）。 先把

x

提出积分号：

φ (x) = x \int_{0}^{x^{2}} f (t) d t

。

求导：

φ^{'} (x) = \int_{0}^{x^{2}} f (t) d t + x \cdot f (x^{2}) \cdot 2 x = \int_{0}^{x^{2}} f (t) d t + 2 x^{2} f (x^{2})

。

由

φ (1) = \int_{0}^{1} f (t) d t = 1

；再由

φ^{'} (1) = \int_{0}^{1} f d t + 2 f (1) = 1 + 2 f (1) = 5

，解得

f (1) = 2

。

2015 年考研数学（三） 第 10 题