2015 年考研数学（三） 第 5 题

参数非齐次方程组“无穷多解”＝ $|A|=0$（定参数 $a$）＋ 增广阵相容（消元后末行 $0=$ 含 $d$ 的式子，令它为 $0$ 定 $d$）。坑：只满足 $|A|=0$ 不够，还要回代验相容；本题 $d$ 也被逼进 $\Omega$。

本题考查非齐次线性方程组有无穷多解的判定：$r(A)=r(\bar{A})<n$。 这里 $n=3$。行列式 $|A|=(a-1)(a-2)$，故 $|A|=0\iff a=1$ 或 $a=2$，即 $a\in \Omega$——这是有无穷多解的必要前提。

对增广矩阵消元。当 $a=1$：$\bar{A}=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 2& 1& d\\ 1& 4& 1& d^2\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& 1& 0& d-1\\ 0& 0& 0& d^2-3d+2\end{array}\right)$，要 $r(A)=r(\bar{A})$ 须末行 $d^2-3d+2=(d-1)(d-2)=0$，即 $d=1$ 或 $2$。

当 $a=2$ 同理，末行常数列仍为 $d^2-3d+2$，也要求 $d=1$ 或 $2$。故充要条件是 $a\in \Omega$ 且 $d\in \Omega$，选 D。