2015 年考研数学（三） 第 4 题

四个级数逐一贴标签：比值法治阶乘/指数，等价无穷小化 $p$-级数。关键（C）：把 $(-1{)}^n+1$ 拆成“交错（收敛）+ 正项 $\frac{1}{\ln n}$（比 $\frac{1}{n}$ 大，发散）”，收敛+发散=发散。坑：别看到 $(-1{)}^n$ 就当交错级数整体判。

本题考查级数敛散性的综合判别（比值/比较/交错级数）。 逐一判断四个选项。

（A）比值法：$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n+1}{3n}\to \frac{1}{3}<1$，收敛。（D）比值法：$\frac{a_{n+1}}{a_n}={\left(\frac{n}{n+1}\right)}^n\to \frac{1}{e}<1$，收敛。

（B）因 $\ln (1+\frac{1}{n})\sim \frac{1}{n}$，通项 $\sim \frac{1}{\sqrt{n}}\cdot \frac{1}{n}=\frac{1}{n^{3/2}}$，$p=\frac{3}{2}>1$，收敛。

（C）拆项：$\frac{(-1{)}^n+1}{\ln n}=\frac{(-1{)}^n}{\ln n}+\frac{1}{\ln n}$。前者由莱布尼茨判别法收敛；后者因 $\frac{1}{\ln n}>\frac{1}{n}$ 且 $\sum \frac{1}{n}$ 发散，由比较判别法发散。“收敛 ＋ 发散 ＝ 发散”，故（C）发散，选 C。