2015 年考研数学（三） 第 3 题

两圆盘交集化极坐标：分别写出 $r=2\cos \theta ,2\sin \theta$，交集取 $\min$，用 $\theta =\pi /4$ 分段。坑：别把两段上限写反——小 $\theta$ 侧靠近 $x$ 轴，$2\sin \theta \to 0$ 更紧，故取 $2\sin \theta$。

本题考查二重积分化为极坐标累次积分（确定 $r,\theta$ 的上下限）。 两圆 $x^2+y^2=2x$、$x^2+y^2=2y$ 化极坐标分别为 $r=2\cos \theta$、$r=2\sin \theta$；$D$ 是二者的公共部分（第一象限内从 $O$ 到 $(1,1)$ 的透镜形）。

区域内每点须同时满足 $r\le 2\cos \theta$ 与 $r\le 2\sin \theta$，即 $r\le \min (2\cos \theta ,2\sin \theta )$。当 $0\le \theta \le \frac{\pi }{4}$ 时 $\sin \theta \le \cos \theta$，上限取 $2\sin \theta$；当 $\frac{\pi }{4}\le \theta \le \frac{\pi }{2}$ 时上限取 $2\cos \theta$。

于是 ${\iint }_D={\int }_0^{\pi /4}d\theta {\int }_0^{2\sin \theta }frdr+{\int }_{\pi /4}^{\pi /2}d\theta {\int }_0^{2\cos \theta }frdr$，选 B。