2015 年考研数学（三） 第 2 题

判拐点＝找 $f^{\prime \prime }=0$ 或 $f^{\prime \prime }$ 不存在的点，再逐点看 $f^{\prime \prime }$ 是否变号（不是看是否为零！）。坑：$f^{\prime \prime }$ 与 $x$ 轴相切但不穿过（$x=a$）不变号，不是拐点；$f^{\prime \prime }$ 不存在但变号（$x=0$）却是拐点。

本题考查拐点的判别法。 拐点是曲线凹凸性发生改变的点，判定标准：在使 $f^{\prime \prime }(x)=0$ 或 $f^{\prime \prime }(x)$ 不存在的点处，若 $f^{\prime \prime }(x)$ 两侧异号则为拐点，同号则不是。

$x=a$：$f^{\prime \prime }(a)=0$，但左右两侧 $f^{\prime \prime }>0$（曲线只是相切于 $x$ 轴而未穿过），凹凸性不变，$(a,f(a))$ 不是拐点。

$x=0$：$f^{\prime \prime }$ 不存在，但左右两侧异号，凹凸性改变，$(0,f(0))$ 是拐点（$f$ 连续保证曲线上该点存在）。$x=b$：$f^{\prime \prime }(b)=0$ 且左右异号，$(b,f(b))$ 是拐点。故共 $2$ 个拐点，选 C。