2015 年考研数学（三）第 1 题

选择题 · 4 分

设

{x_{n}}

是数列。下列命题中不正确的是（　　）。

A若 $n \to \infty lim x_{n} = a$ ，则 $n \to \infty lim x_{2 n} = n \to \infty lim x_{2 n + 1} = a$ .
B若 $n \to \infty lim x_{2 n} = n \to \infty lim x_{2 n + 1} = a$ ，则 $n \to \infty lim x_{n} = a$ .
C若 $n \to \infty lim x_{n} = a$ ，则 $n \to \infty lim x_{3 n} = n \to \infty lim x_{3 n + 1} = a$ .
D若 $n \to \infty lim x_{3 n} = n \to \infty lim x_{3 n + 1} = a$ ，则 $n \to \infty lim x_{n} = a$ .

提示 1

收敛数列的任意子列都收敛于同一极限，故（A）（C）都对。

提示 2

判断“若干子列收敛能否推出原数列收敛”，要看这些子列的下标并起来是否覆盖了全部项。

提示 3

{x_{3 n}} \cup {x_{3 n + 1}}

漏掉了下标

\equiv 2 (mod 3)

的项，构造这种项趋于别的值的反例。

答案与详解

答案 D

思路（为什么这么做）

“子列极限 ⇒ 原数列极限”成立的充要条件是这些子列的下标并集覆盖所有项：偶+奇（B）能覆盖，故成立；

3 n

与

3 n + 1

漏掉

3 n + 2

（D），不成立。坑：别被“两个子列同极限”迷惑，先数下标覆盖全没有。

解答

本题考查数列与其子列极限的关系。 关键结论：收敛数列的任意子列都收敛于同一极限；反过来，若干子列都收敛于

a

，只有当这些子列的下标并起来覆盖了全部项时，才能保证

x_{n} \to a

。

（A）（C）正确：

{x_{2 n}}, {x_{2 n + 1}}, {x_{3 n}}, {x_{3 n + 1}}

都是

{x_{n}}

的子列，收敛数列的子列必收敛于同一极限

a

。

（B）正确：偶数项

{x_{2 n}}

与奇数项

{x_{2 n + 1}}

合起来恰覆盖所有正整数下标，二者同趋于

a

即得

x_{n} \to a

。

（D）不正确：

{x_{3 n}}

覆盖下标

\equiv 0 (mod 3)

，

{x_{3 n + 1}}

覆盖

\equiv 1 (mod 3)

，唯独漏掉

\equiv 2 (mod 3)

的子列

{x_{3 n + 2}}

，它可趋于别的值。例如令

x_{n} = 1 (n \neq \equiv 2)

、

x_{n} = 0 (n \equiv 2 mod 3)

，则

x_{3 n}, x_{3 n + 1} \to 1

而

x_{3 n + 2} \to 0

，

lim x_{n}

不存在。故选 D。

2015 年考研数学（三） 第 1 题