2015 年考研数学（三） 第 6 题

正交变换标准形＝按变换矩阵列的顺序摆特征值。换列/变号特征向量，只改系数的排列，不改数值（$-e_3$ 仍属 $-1$）。坑：把 $e_2,e_3$ 对调，系数 $1,-1$ 也随之对调 → $2,-1,1$。

本题考查正交变换化二次型：标准形系数＝特征值，且要与特征向量（$P$ 的各列）一一对应。 由 $x=Py$ 得标准形 $2y_1^2+y_2^2-y_3^2$，说明 $f$ 的矩阵 $A$ 的特征值 $2,1,-1$ 依次对应单位正交特征向量 $e_1,e_2,e_3$，即 $A{e}_1=2e_1,A{e}_2=e_2,A{e}_3=-e_3$。

$Q=(e_1,-e_3,e_2)$ 的三列仍是单位正交特征向量：$e_1$ 属特征值 $2$，$-e_3$ 仍属 $-1$，$e_2$ 属 $1$。故 $Q^{\mathsf{T}}AQ=\mathrm{diag}(2,-1,1)$。

于是 $f$ 在 $x=Qy$ 下的标准形为 $2y_1^2-y_2^2+y_3^2$，选 A。