2015 年考研数学（三） 第 22 题

“等到第 $r$ 次成功的次数”＝负二项/帕斯卡分布：$P\{Y=k\}=C_{k-1}^{r-1}{p}^r(1-p{)}^{k-r}$，$E(Y)=\frac{r}{p}$。先从连续密度积出单次成功概率 $p$。坑：$\{Y=k\}$ 要求第 $k$ 次必成功，前 $k-1$ 次恰 $r-1$ 次成功（组合数是 $C_{k-1}^{r-1}$）。

本题考查由连续型密度算成功概率，再识别“等到第 $2$ 次成功”的等待分布（帕斯卡/负二项）并求期望。 每次观测“成功”（值 $>3$）的概率 $p=P\{X>3\}={\int }_3^{+\infty }{2}^{-x}\ln 2dx={\left[-2^{-x}\right]}_3^{+\infty }=2^{-3}=\frac{1}{8}$，各次观测独立同分布。

$Y$ 为第 $2$ 个成功出现时的观测次数，取值 $2,3,\cdots$。事件 $\{Y=k\}$ 表示前 $k-1$ 次中恰有 $1$ 次成功、且第 $k$ 次成功：$P\{Y=k\}=C_{k-1}^{1}p(1-p{)}^{k-2}\cdot p=(k-1)p^2(1-p{)}^{k-2}=(k-1){\left(\frac{1}{8}\right)}^2{\left(\frac{7}{8}\right)}^{k-2}$，$k=2,3,\cdots$。

（Ⅱ）$E(Y)=\sum _{k=2}^{\infty }k(k-1)p^2(1-p{)}^{k-2}=p^2{\left(\sum _{k=2}^{\infty }{x}^k\right)}^{\prime \prime }{|}_{x=1-p}=p^2\cdot \frac{2}{(1-x{)}^3}{|}_{x=1-p}=\frac{2p^2}{p^3}=\frac{2}{p}=16$。