2015 年考研数学（三） 第 23 题

均匀分布 $U[\theta ,1]$：矩估计令 $\frac{\theta +1}{2}=\bar{X}$。MLE 关键——似然 $(1-\theta {)}^{-n}$ 无驻点但单调增，最大值在可行域边界 $\theta =\min X_i$（端点参数常这样，别去求导令 $0$）。坑：约束 $\theta \le \min X_i$ 来自密度的非零区间。

本题考查矩估计与最大似然估计（总体为均匀分布 $U[\theta ,1]$）。（Ⅰ）$E(X)={\int }_{\theta }^1\frac{x}{1-\theta }dx=\frac{1+\theta }{2}$。令 $E(X)=\bar{X}$，即 $\frac{1+\theta }{2}=\bar{X}$，解得矩估计量 $\hat{\theta }=2\bar{X}-1$。

（Ⅱ）似然函数 $L(\theta )=\prod _{i=1}^{n}f(x_i;\theta )=\frac{1}{(1-\theta {)}^n}$，其非零要求 $\theta \le x_i\le 1$ 对所有 $i$ 成立，即 $\theta \le {\min }_i{x}_i$。

在约束 $\theta \le {\min }_i{x}_i$ 下，$L(\theta )=(1-\theta {)}^{-n}$ 关于 $\theta$ 单调增（$\frac{d}{d\theta }L=\frac{n}{(1-\theta {)}^{n+1}}>0$），故 $\theta$ 取到上界 ${\min }_i{x}_i$ 时 $L$ 最大。所以最大似然估计量 $\hat{\theta }=\underset{1\le i\le n}{\min }\{X_i\}$。