2015 年考研数学（三） 第 21 题

相似求参数：先用 $\mathrm{tr}A=\mathrm{tr}B$、$|A|=|B|$ 两个等式。对角化：求特征值（二重根 $\lambda =1$ 要凑够 $2$ 个无关特征向量才可对角化）→ 拼 $P$。坑：$P$ 的列顺序必须与对角阵特征值顺序一致。

本题考查相似矩阵的必要条件（同迹、同行列式）与矩阵的对角化。（Ⅰ）相似矩阵有相同的迹与行列式：$\mathrm{tr}A=\mathrm{tr}B$ 给 $3+a=2+b$；又 $|A|=2a-3$，$|B|=b$，得 $|A|=|B|$ 即 $2a-3=b$。联立 $\{\begin{array}{l}a+3=b+2\\ 2a-3=b\end{array}$，解得 $a=4,b=5$。

（Ⅱ）$A,B$ 特征值相同。由 $|\lambda E-B|=(\lambda -1{)}^2(\lambda -5)=0$ 得特征值 $\lambda =1$（二重）、$\lambda =5$。

$\lambda =1$：解 $(E-A)x=0$，$E-A=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 3\\ 1& -2& 3\\ -1& 2& -3\end{array}\right)\to (1,-2,3)$，得两个线性无关特征向量 ${\alpha }_1=(2,1,0{)}^{\mathsf{T}},{\alpha }_2=(-3,0,1{)}^{\mathsf{T}}$。

$\lambda =5$：解 $(5E-A)x=0$，化简得特征向量 ${\alpha }_3=(-1,-1,1{)}^{\mathsf{T}}$。取 $P=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)=\left(\begin{array}{ccc}2& -3& -1\\ 1& 0& -1\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$，则 $P^{-1}AP=\mathrm{diag}(1,1,5)$。