2015 年考研数学（三） 第 20 题

$A^k=O$ 型：$|A|=0$ 定参数（幂零阵行列式为 0）。矩阵方程先因式分解成 $(E-A)X(E-A^2)=E$，再两边左右乘逆。坑：分解时 $X{A}^2,AX{A}^2$ 的公因子是右乘 $A^2$、左提 $(E-A)$，顺序不能乱；也可用 $E-A^2=(E-A)(E+A)$。

本题考查由 $A^3=O$ 定参数，及用因式分解 + 逆矩阵解矩阵方程。（Ⅰ）由 $A^3=O$ 得 $|A{|}^3=|A^3|=0$，故 $|A|=0$。直接计算 $|A|=a^3$，所以 $a=0$。（此时 $A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& -1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$，可验证 $A^3=O$。）

（Ⅱ）对方程左边分组因式分解：$X-AX-X{A}^2+AX{A}^2=(E-A)X-(E-A)X{A}^2=(E-A)X(E-A^2)$。故 $(E-A)X(E-A^2)=E$，从而 $X=(E-A{)}^{-1}(E-A^2{)}^{-1}$。

由 $a=0$ 算 $A^2=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 0& 0\\ 1& 0& -1\end{array}\right)$，$E-A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ -1& 1& 1\\ 0& -1& 1\end{array}\right)$，$E-A^2=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ -1& 0& 2\end{array}\right)$。

求逆得 $(E-A{)}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& -1\\ 1& 1& -1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)$，$(E-A^2{)}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& -1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$。相乘 $X=(E-A{)}^{-1}(E-A^2{)}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}3& 1& -2\\ 1& 1& -1\\ 2& 1& -1\end{array}\right)$。