2015 年考研数学（三）第 19 题

解答题 · 10 分

（Ⅰ）设函数

u (x), v (x)

可导，利用导数定义证明

[u (x) v (x)]^{'} = u^{'} (x) v (x) + u (x) v^{'} (x)

；

（Ⅱ）设函数

u_{1} (x), u_{2} (x), \dots, u_{n} (x)

可导，

f (x) = u_{1} (x) u_{2} (x) \dots u_{n} (x)

，写出

f (x)

的求导公式。

提示 1

从

Δ f = u (x + Δ x) v (x + Δ x) - u (x) v (x)

出发，加减

u (x) v (x + Δ x)

拆项。

提示 2

除以

Δ x

取极限，注意

v (x + Δ x) \to v (x)

（可导必连续）。

提示 3

（Ⅱ）每次只对一个因子求导、其余不动，再求和。

答案与详解

答案（Ⅰ）见证明；（Ⅱ） $f^{'} (x) = k = 1 \sum n u_{1} (x) \dots u_{k - 1} (x) u_{k}^{'} (x) u_{k + 1} (x) \dots u_{n} (x)$

思路（为什么这么做）

导数定义证乘积法则：核心是“加一项减一项”

\pm u (x) v (x + Δ x)

，把差拆成两块。推广到

n

个因子：逐个因子轮流求导相加。坑：取极限时要用

v

连续

v (x + Δ x) \to v (x)

。

解答

本题考查导数定义与乘积求导法则（含推广）。（Ⅰ）令

f (x) = u (x) v (x)

，写出增量

Δ f = u (x + Δ x) v (x + Δ x) - u (x) v (x)

。

添项

\pm u (x) v (x + Δ x)

：

Δ f = [u (x + Δ x) - u (x)] v (x + Δ x) + u (x) [v (x + Δ x) - v (x)] = Δ u \cdot v (x + Δ x) + u (x) Δ v

。

两边除以

Δ x

并令

Δ x \to 0

：因

v

可导必连续，

v (x + Δ x) \to v (x)

，得

[uv]^{'} = Δ x \to 0 lim \frac{Δ u}{Δ x} v (x + Δ x) + u (x) Δ x \to 0 lim \frac{Δ v}{Δ x} = u^{'} (x) v (x) + u (x) v^{'} (x)

。

（Ⅱ）反复使用乘积法则（数学归纳）得

f^{'} (x) = u_{1}^{'} u_{2} \dots u_{n} + u_{1} u_{2}^{'} \dots u_{n} + \dots + u_{1} u_{2} \dots u_{n}^{'} = k = 1 \sum n u_{1} \dots u_{k - 1} u_{k}^{'} u_{k + 1} \dots u_{n}

。

2015 年考研数学（三） 第 19 题