2015 年考研数学（三） 第 18 题

“切线围三角形面积恒定”⇒ 用切线的 $x$ 轴截距求水平边 $\frac{f}{f^{\prime }}$，面积式 $\frac{1}{2}\frac{f^2}{f^{\prime }}=$ 常数 ⇒ 可分离变量 ODE。坑：水平边是 $\frac{f}{f^{\prime }}$（截距差），别写成 $f$；解出后用初值 $f(0)$ 定 $C$。

本题考查由几何条件（切线 + 面积）建立并求解微分方程。 在 $(x_0,f(x_0))$ 处切线为 $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$。令 $y=0$ 得切线与 $x$ 轴交点横坐标 $x=x_0-\frac{f(x_0)}{f^{\prime }(x_0)}$。

该切线、直线 $x=x_0$ 与 $x$ 轴围成一个直角三角形：竖直直角边长 $f(x_0)$，水平直角边长 $\left|x_0-\left(x_0-\frac{f(x_0)}{f^{\prime }(x_0)}\right)\right|=\frac{f(x_0)}{f^{\prime }(x_0)}$（因 $f,f^{\prime }>0$）。面积 $S=\frac{1}{2}\cdot \frac{f^2(x_0)}{f^{\prime }(x_0)}=4$。

于是对一切 $x$ 有 $\frac{y^2}{y^{\prime }}=8$，即 $y^{\prime }=\frac{y^2}{8}$。分离变量 $\frac{8dy}{y^2}=dx$，积分得 $-\frac{8}{y}=x+C$。

代 $f(0)=2$：$-\frac{8}{2}=C\Rightarrow C=-4$，故 $-\frac{8}{y}=x-4$，解得 $f(x)=\frac{8}{4-x}$。