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2015 年考研数学（三）第 17 题

解答题 · 10 分

为了实现利润最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型。设

Q

为该商品的需求量，

p

为价格，

M C

为边际成本，

η

为需求弹性（

η > 0

）。

（Ⅰ）证明定价模型为

p = \frac{M C}{1 - \frac{1}{η}}

；

（Ⅱ）若该商品的成本函数为

C (Q) = 1600 + Q^{2}

，需求函数为

Q = 40 - p

，试由（Ⅰ）中的定价模型确定此商品的价格。

提示 1

总收益

R = pQ

，利润最大

\Leftrightarrow \frac{d R}{d Q} = M C

；把

\frac{d ( pQ )}{d Q}

用乘积法则展开。

提示 2

用弹性定义

η = - \frac{p}{Q} \frac{d Q}{d p}

把

\frac{d R}{d Q}

化成

p (1 - \frac{1}{η})

。

提示 3

（Ⅱ）算出

M C = 2 Q

、

η = \frac{p}{40 - p}

，代入

p (1 - \frac{1}{η}) = M C

解

p

。

答案与详解

答案（Ⅰ）见证明；（Ⅱ） $p = 30$

思路（为什么这么做）

经济定价题：抓“边际收益

=

边际成本”，

\frac{d ( pQ )}{d Q} = p (1 - \frac{1}{η})

是标准变形（用弹性定义

η = - \frac{p}{Q} \frac{d Q}{d p}

）。坑：弹性带负号定义，代入时

η = \frac{p}{40 - p} > 0

；最后方程别把

M C = 2 Q

与

Q = 40 - p

搞混。

解答

本题考查边际与弹性的经济意义及最优定价（边际收益＝边际成本）。（Ⅰ）总收益

R = pQ

。利润最大时边际收益

\frac{d R}{d Q} = M C

，而

\frac{d R}{d Q} = \frac{d ( pQ )}{d Q} = p + Q \frac{d p}{d Q} = p (1 + \frac{Q}{p} \frac{d p}{d Q})

。

需求弹性

η = - \frac{p}{Q} \frac{d Q}{d p} > 0

，故

\frac{Q}{p} \frac{d p}{d Q} = - \frac{1}{η}

，于是

\frac{d R}{d Q} = p (1 - \frac{1}{η})

。令其

= M C

得

p (1 - \frac{1}{η}) = M C

，即

p = \frac{M C}{1 - \frac{1}{η}}

。

（Ⅱ）

M C = C^{'} (Q) = 2 Q

；由

Q = 40 - p

得

\frac{d Q}{d p} = - 1

，弹性

η = - \frac{p}{Q} \cdot (- 1) = \frac{p}{Q} = \frac{p}{40 - p}

。代入定价模型

(1 - \frac{1}{η}) p = M C

：

1 - \frac{1}{η} = 1 - \frac{40 - p}{p} = \frac{2 p - 40}{p}

，故

\frac{2 p - 40}{p} \cdot p = 2 (40 - p)

，即

2 p - 40 = 2 (40 - p)

，解得

p = 30

。

考点：边际与弹性（导数的经济意义）、导数应用：最值、渐近线、作图

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