2015 年考研数学（三） 第 16 题

二重积分先看对称性：区域对称 + 被积含奇函数项 ⇒ 该项丢掉（这里丢 $xy$，只算 $x^2$）。剩下 $x^2\sqrt{2-x^2}$ 型用三角代换。坑：先求圆与抛物线交点定 $y$ 的上下限。

本题考查二重积分的计算，关键先用对称性简化被积函数。 区域 $D$（圆 $x^2+y^2=2$ 之内、抛物线 $y=x^2$ 之上）关于 $y$ 轴对称，而 $x(x+y)=x^2+xy$ 中 $xy$ 关于 $x$ 为奇函数，积分为 $0$。故 ${\iint }_{D}x(x+y)d\sigma ={\iint }_D{x}^{2}d\sigma$。

求交点：$y=x^2$ 与 $x^2+y^2=2$ 联立得 $y+y^2=2$，$y=1$，$x=\pm 1$，交点 $(\pm 1,1)$。取右半 $D_1:0\le x\le 1,x^2\le y\le \sqrt{2-x^2}$，由对称性 ${\iint }_D{x}^{2}d\sigma =2{\iint }_{D_1}{x}^{2}d\sigma$。

累次积分：$2{\int }_0^1{x}^2\left(\sqrt{2-x^2}-x^2\right)dx=2{\int }_0^1{x}^2\sqrt{2-x^2}dx-2{\int }_0^1{x}^{4}dx$。后一积分 $=\frac{2}{5}$。前者令 $x=\sqrt{2}\sin t$，得 $8{\int }_0^{\pi /4}{\sin }^{2}t{\cos }^{2}tdt=2{\int }_0^{\pi /4}{\sin }^{2}2tdt={\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{2}udu=\frac{\pi }{4}$。

故原积分 $=\frac{\pi }{4}-\frac{2}{5}$。