2015 年考研数学（三） 第 15 题

“$f$ 与 $k{x}^n$ 等价无穷小”＝把 $f$ 麦克劳林展开，低于 $n$ 阶系数逐个逼零，$n$ 阶系数 $=k$。坑：$\ln (1+x)$ 要展到 $x^3$（含 $\frac{x^3}{3}$），$x\sin x$ 只到 $x^2$。

本题考查用泰勒（麦克劳林）展开处理等价无穷小。 $f(x)\sim g(x)=k{x}^3$ 意味着 $f(x)$ 展开式中 $x$ 与 $x^2$ 的系数必须为 $0$，且 $x^3$ 系数等于 $k$。

展开到 $x^3$：$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$，$x\sin x=x^2+o(x^3)$。代入得 $f(x)=(1+a)x+\left(b-\frac{a}{2}\right)x^2+\frac{a}{3}{x}^3+o(x^3)$。

令 $x,x^2$ 系数为零：$1+a=0\Rightarrow a=-1$；$b-\frac{a}{2}=0\Rightarrow b=-\frac{1}{2}$。再由 $x^3$ 系数 $\frac{a}{3}=k\Rightarrow k=-\frac{1}{3}$。故 $a=-1,b=-\frac{1}{2},k=-\frac{1}{3}$。