2015 年考研数学（三） 第 14 题

二维正态先看 $\rho$：$\rho =0$ 就独立，可拆积。$P\{(X-1)Y<0\}$＝两个“异号”情形之和，正态关于均值对称各占 $\frac{1}{2}$。坑：$X$ 的对称中心是均值 $1$ 不是 $0$。

本题考查二维正态分布的性质（$\rho =0\Rightarrow$ 独立）与对称性求概率。 参数表示 ${\mu }_X=1,{\mu }_Y=0,{\sigma }_X^2={\sigma }_Y^2=1,\rho =0$，故 $X\sim N(1,1)$，$Y\sim N(0,1)$ 且相互独立。

$P\{XY-Y<0\}=P\{(X-1)Y<0\}=P\{X<1,Y>0\}+P\{X>1,Y<0\}$。由独立性拆开：$=P\{X<1\}P\{Y>0\}+P\{X>1\}P\{Y<0\}$。

因 $X\sim N(1,1)$ 关于 $1$ 对称，$P\{X<1\}=P\{X>1\}=\frac{1}{2}$；$Y\sim N(0,1)$ 有 $P\{Y>0\}=P\{Y<0\}=\frac{1}{2}$。故原式 $=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。