2014 年考研数学（三） 第 6 题

判断「新组无关」与「原组无关」的充分必要关系 → 正向用矩阵乘 $P$ 证蕴含，反向找反例（常取某向量为零）。坑：方向别搞反——原无关⇒新无关，故「新无关」是「原无关」的必要非充分条件。

本题考查线性无关的充分必要判断。 若 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性无关：$({\alpha }_1+k{\alpha }_3,{\alpha }_2+l{\alpha }_3)=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ k& l\end{array}\right)$，右端 $3\times 2$ 系数矩阵两列不成比例、秩为 $2$，故新向量组线性无关。即「原组无关」$\Rightarrow$「新组无关」，是充分的。

反之不成立：取 ${\alpha }_3=0$、${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 无关，则新组 $={\alpha }_1,{\alpha }_2$ 无关，但 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 含零向量线性相关。

所以「新组无关」是「原组无关」的必要非充分条件，选 A。