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2014 年考研数学（三）第 5 题

选择题 · 4 分

行列式

0 a 0 c a 0 c 0 b 0 d 0 0 b 0 d =

（　　）

A $(a d - b c)^{2}$
B $- (a d - b c)^{2}$
C $a^{2} d^{2} - b^{2} c^{2}$
D $b^{2} c^{2} - a^{2} d^{2}$

提示 1

每行/列只有两个非零元，按含零最多的第一列展开最省。

提示 2

展开得两个三阶行列式，整理成含

(a d - b c)

的形式。

提示 3

合并

- a^{2} d^{2} + 2 ab c d - b^{2} c^{2} = - (a d - b c)^{2}

。

答案与详解

答案 B

思路（为什么这么做）

稀疏行列式（每行两非零）→ 按含零最多的行/列展开。坑：结果带负号

- (a d - b c)^{2}

，来自代数余子式的符号

(- 1)^{i + j}

。

解答

本题考查行列式按行（列）展开。 该行列式每行、每列只有两个非零元。按第一列展开（仅第

2, 4

行非零），整理得

= - a d (a d - b c) + b c (a d - b c) = - a^{2} d^{2} + 2 ab c d - b^{2} c^{2} = - (a d - b c)^{2}

。故选 B。

考点：行列式的计算、行列式的概念与性质

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