2014 年考研数学（三） 第 4 题

比较 $f$ 与其端点连线（弦）$g$ → 作差 $\phi =f-g$，用 ${\phi }^{\prime \prime }=f^{\prime \prime }$ 的符号：$f^{\prime \prime }\ge 0$（下凸）曲线在弦下方，$f\le g$。坑：决定大小的是二阶导（凹凸），与一阶导无关。

本题考查用凹凸性比较函数大小。 注意 $g(x)$ 是连接 $(0,f(0))$ 与 $(1,f(1))$ 的直线段。令 $\phi (x)=f(x)-g(x)$，则 $\phi (0)=\phi (1)=0$，${\phi }^{\prime \prime }(x)=f^{\prime \prime }(x)$。

当 $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$ 时 ${\phi }^{\prime \prime }\ge 0$，$\phi$ 为凸（下凸）函数，两端点值为 $0$，故 $[0,1]$ 上 $\phi (x)\le 0$，即 $f(x)\le g(x)$。选 D。