乐思数学通 › 考研数学（三） › 真题检索 › 2014 年

2014 年考研数学（三）第 22 题

解答题 · 11 分

设随机变量

X

的概率分布为

P {X = 1} = P {X = 2} = \frac{1}{2}

。在给定

X = i

的条件下，随机变量

Y

服从均匀分布

U (0, i)

（

i = 1, 2

）。（Ⅰ）求

Y

的分布函数

F_{Y} (y)

；（Ⅱ）求

E (Y)

。

提示 1

用全概率公式

F_{Y} (y) = \sum_{i} P {X = i} P {Y \leq y ∣ X = i}

，条件分布是均匀分布的 CDF。

提示 2

按

y

落在

(- \infty, 0), [0, 1), [1, 2), [2, + \infty)

分四段写。

提示 3

求导得密度算

E (Y)

，或直接用

E (Y) = \sum_{i} P {X = i} E (Y ∣ X = i)

。

答案与详解

答案（Ⅰ） $F_{Y} (y) = ⎩ ⎨ ⎧ 0, \frac{3 y}{4}, \frac{y}{4} + \frac{1}{2}, 1, y < 0 0 \leq y < 1 1 \leq y < 2 y \geq 2$ ；（Ⅱ） $E (Y) = \frac{3}{4}$

思路（为什么这么做）

X

离散、

Y ∣ X

连续 → 用全概率公式对分布函数分段拼装。坑：

U (0, i)

的 CDF 在

y > i

后已为

1

，分段点

y = 1

处两条件分布进度不同，务必分段。

解答

本题考查全概率公式求分布函数与期望（条件分布）。 由全概率公式

F_{Y} (y) = P {Y \leq y} = \frac{1}{2} P {Y \leq y ∣ X = 1} + \frac{1}{2} P {Y \leq y ∣ X = 2}

，其中

Y ∣ X = 1 \sim U (0, 1)

，

Y ∣ X = 2 \sim U (0, 2)

。

分段：

y < 0

时

F_{Y} = 0

；

0 \leq y < 1

时

F_{Y} = \frac{1}{2} \cdot y + \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{2} = \frac{3 y}{4}

；

1 \leq y < 2

时

F_{Y} = \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{2} = \frac{y}{4} + \frac{1}{2}

；

y \geq 2

时

F_{Y} = 1

。

（Ⅱ）求导得密度

f_{Y} (y) = \frac{3}{4} (0 < y < 1), \frac{1}{4} (1 < y < 2)

，其余为

0

。

E (Y) = \int_{0}^{1} \frac{3}{4} y d y + \int_{1}^{2} \frac{1}{4} y d y = \frac{3}{8} + \frac{3}{8} = \frac{3}{4}

。（也可用

E (Y) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{3}{4}

。）

考点：边缘分布与条件分布、数学期望

← 2014 年全部题目

2014 年考研数学（三） 第 22 题

2014 年考研数学（三）第 22 题