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2014 年考研数学（三）第 23 题

解答题 · 11 分

设随机变量

X, Y

的概率分布相同，

X

的概率分布为

P {X = 0} = \frac{1}{3}, P {X = 1} = \frac{2}{3}

，且

X

与

Y

的相关系数

ρ_{X Y} = \frac{1}{2}

。（Ⅰ）求

(X, Y)

的概率分布；（Ⅱ）求

P {X + Y \leq 1}

。

提示 1

由

X

的分布算

E (X), D (X)

；

Y

同分布同理。

提示 2

用

ρ_{X Y}

的公式解出

E (X Y)

；因

X, Y \in {0, 1}

，

E (X Y) = P {X = 1, Y = 1}

。

提示 3

用边缘分布

P {X = 1}, P {Y = 1}

补全四格联合概率；

X + Y \leq 1

的补集只有

{X = 1, Y = 1}

。

答案与详解

答案（Ⅰ） $P {X = 0, Y = 0} = \frac{2}{9}, P {X = 0, Y = 1} = \frac{1}{9}, P {X = 1, Y = 0} = \frac{1}{9}, P {X = 1, Y = 1} = \frac{5}{9}$ ；（Ⅱ） $P {X + Y \leq 1} = \frac{4}{9}$

思路（为什么这么做）

0 - 1

变量已知相关系数求联合分布 → 关键恒等式

E (X Y) = P {X = 1, Y = 1}

，由

ρ

解出后用边缘分布补齐四格表。坑：

P {X + Y \leq 1}

用补集

= 1 - P {X = 1, Y = 1}

最快。

解答

本题考查由相关系数反求二维离散分布。 由

X

的分布：

E (X) = \frac{2}{3}

，

E (X^{2}) = \frac{2}{3}

，

D (X) = \frac{2}{3} - \frac{4}{9} = \frac{2}{9}

；

Y

同分布，

E (Y) = \frac{2}{3}

，

D (Y) = \frac{2}{9}

。

由

ρ_{X Y} = \frac{E ( X Y ) - E ( X ) E ( Y )}{D ( X ) D ( Y )} = \frac{E ( X Y ) - \frac{4}{9}}{\frac{2}{9}} = \frac{1}{2}

，解得

E (X Y) = \frac{5}{9}

。因

X, Y

只取

0, 1

，

E (X Y) = P {X = 1, Y = 1} = \frac{5}{9}

。

用边缘分布补全：

P {X = 1, Y = 0} = P {X = 1} - \frac{5}{9} = \frac{2}{3} - \frac{5}{9} = \frac{1}{9}

；

P {X = 0, Y = 1} = P {Y = 1} - \frac{5}{9} = \frac{1}{9}

；

P {X = 0, Y = 0} = \frac{1}{3} - \frac{1}{9} = \frac{2}{9}

。（Ⅱ）

P {X + Y \leq 1} = 1 - P {X = 1, Y = 1} = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}

。

考点：协方差与相关系数、二维随机变量与联合分布

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