2014 年考研数学（三） 第 21 题

证两矩阵相似 → 若都可对角化，只需证特征值（含重数）相同。坑：仅特征值相同不够，必须各自可对角化；对重根用「几何重数 $n-r(\lambda E-A)=$ 代数重数」验证。

本题考查相似的判定（特征值相同 + 都可对角化）。 记 $A$ 为全 $1$ 矩阵，$B$ 为末列 $1,2,\cdots ,n$、其余全 $0$ 的矩阵。两者都是秩 $1$ 矩阵。由 $|\lambda E-A|=0$ 得 $A$ 的特征值 ${\lambda }_1=\cdots ={\lambda }_{n-1}=0,{\lambda }_n=\mathrm{tr}A=n$；同理 $B$ 的特征值也是 $0$（$n-1$ 重）与 $\mathrm{tr}B=n$。故 $A,B$ 特征值相同。

$A$ 为实对称矩阵，必可对角化；对 $B$，特征值 $0$ 的代数重数为 $n-1$，而 $r(0\cdot E-B)=r(B)=1$，几何重数 $=n-r(B)=n-1$，等于代数重数，故 $B$ 也可对角化。

于是 $A,B$ 都相似于同一对角阵 $\mathrm{diag}(0,\cdots ,0,n)$，由相似的传递性得 $A\sim B$。