2014 年考研数学（三） 第 20 题

求满足 $AB=E$ 的所有 $B$（$A$ 非方阵/不可逆）→ 按列拆成 $A{X}_j=e_j$，对 $(A\mid E)$ 行化简，通解 = 特解 $+k_j\cdot$（$Ax=0$ 基础解系）。坑：$B$ 不唯一，含自由参数，且各列参数相互独立。

本题考查齐次方程组基础解系与矩阵方程 $AB=E$。 （Ⅰ）对 $A$ 作行初等变换化为行最简 $A\to \left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& -2\\ 0& 0& 1& -3\end{array}\right)$。$r(A)=3$，$Ax=0$ 的解空间维数 $4-3=1$，取自由变量 $x_4=1$ 得基础解系 $\xi =(-1,2,3,1{)}^{\mathrm{T}}$。

（Ⅱ）$B$ 为 $4\times 3$ 矩阵。$AB=E$ 按列等价于 $B$ 的三列 $X_1,X_2,X_3$ 满足 $A{X}_j=e_j$（$e_j$ 为 $E$ 的第 $j$ 列）。对 $(A\mid E)$ 行变换得 $\left(\begin{array}{ccccccc}1& 0& 0& 1& 2& 6& -1\\ 0& 1& 0& -2& -1& -3& 1\\ 0& 0& 1& -3& -1& -4& 1\end{array}\right)$。

各列通解 = 特解 $+k_j\xi$：$X_1=(2,-1,-1,0{)}^{\mathrm{T}}+k_1\xi$，$X_2=(6,-3,-4,0{)}^{\mathrm{T}}+k_2\xi$，$X_3=(-1,1,1,0{)}^{\mathrm{T}}+k_3\xi$，拼成 $B=\left(\begin{array}{ccc}2-k_1& 6-k_2& -1-k_3\\ 2k_1-1& 2k_2-3& 2k_3+1\\ 3k_1-1& 3k_2-4& 3k_3+1\\ k_1& k_2& k_3\end{array}\right)$（$k_1,k_2,k_3$ 任意）。