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2014 年考研数学（三） 第 19 题
解答题 · 10 分
设函数 在区间 上连续，且 单调增加，。证明：（Ⅰ）；（Ⅱ）。
提示 1
（Ⅰ）直接把不等式 两边从 到 积分。提示 2
（Ⅱ）构造辅助函数 ，注意 。提示 3
对 求导（复合上限用链式法则乘 ），再用（Ⅰ）的 与 单调增加放缩。答案与详解
答案 证明见解析（（Ⅰ）由 积分保号；（Ⅱ）构造 ，证 且 ）
思路（为什么这么做）
证积分不等式且上限含积分 → 构造变限积分辅助函数 ，证 且 。坑：对形如 求导要乘 ；再借（Ⅰ）的估计 + 单调把 放缩到 。
解答
本题考查变限积分与积分不等式的证明。 （Ⅰ）由 ，对 从 到 积分：，即 。
（Ⅱ）构造 ，则 。对上限求导（第二项的上限为 ，导数为 ）：。
由（Ⅰ），而 单调增加，故 ；又 ，于是 。因此 在 上单调不减，，即 。
（Ⅱ）构造 ，则 。对上限求导（第二项的上限为 ，导数为 ）：。
由（Ⅰ），而 单调增加，故 ；又 ，于是 。因此 在 上单调不减，，即 。