2014 年考研数学（三） 第 18 题

求 $\sum P(n)x^n$（$P$ 为多项式）的和函数 → 把 $P(n)$ 拆成 $(n+1)(n+2)\cdots$ 与低次的组合，对应 $\frac{1}{1-x}$ 的各阶导数。坑：端点 $x=\pm 1$ 单独判敛散；拆项后凑「错位求导」标准型。

本题考查幂级数收敛域与求和函数。 由 $\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{(n+2)(n+4)}{(n+1)(n+3)}=1$，收敛半径 $R=1$。当 $x=\pm 1$ 时通项 $(n+1)(n+3)\nrightarrow 0$，级数发散，故收敛域为 $(-1,1)$。

令 $S(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(n+1)(n+3)x^n$，把系数拆开 $(n+1)(n+3)=(n+1)(n+2)+(n+1)$，得 $S(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(n+1)(n+2)x^n+\sum _{n=0}^{\infty }(n+1)x^n$。

由 $\sum _{n=0}^{\infty }{x}^{n+2}=\frac{x^2}{1-x}$ 求二阶导得 $\sum _{n=0}^{\infty }(n+1)(n+2)x^n=(\frac{x^2}{1-x}{)}^{\prime \prime }=\frac{2}{(1-x{)}^3}$；求一阶导得 $\sum _{n=0}^{\infty }(n+1)x^n=(\frac{x}{1-x}{)}^{\prime }=\frac{1}{(1-x{)}^2}$。相加 $S(x)=\frac{2}{(1-x{)}^3}+\frac{1}{(1-x{)}^2}=\frac{2+(1-x)}{(1-x{)}^3}=\frac{3-x}{(1-x{)}^3}$（$-1<x<1$）。