2014 年考研数学（三） 第 17 题

偏导数关系式求 $f$ → 按链式法则算偏导代入，凑成只含 $u$ 的常微分方程再解。坑：$4z+{\mathrm{e}}^x\cos y$ 要换成 $4f(u)+u$；约去公因子 ${\mathrm{e}}^x$ 后是标准一阶线性 ODE。

本题考查多元复合函数偏导与一阶线性微分方程。 设 $u={\mathrm{e}}^x\cos y$，由链式法则 $\frac{\partial z}{\partial x}={\mathrm{e}}^x\cos y\cdot f^{\prime }(u)$，$\frac{\partial z}{\partial y}=-{\mathrm{e}}^x\sin y\cdot f^{\prime }(u)$。

代入条件：$\cos y\cdot {\mathrm{e}}^x\cos y{f}^{\prime }+\sin y\cdot {\mathrm{e}}^x\sin y{f}^{\prime }={\mathrm{e}}^x({\cos }^{2}y+{\sin }^{2}y)f^{\prime }={\mathrm{e}}^x{f}^{\prime }(u)$。又右端 $=(4f(u)+u){\mathrm{e}}^x$，约去 ${\mathrm{e}}^x$ 得 $f^{\prime }(u)-4f(u)=u$。

一阶线性方程，通解 $f(u)={\mathrm{e}}^{4u}(\int u{\mathrm{e}}^{-4u}\mathrm{d}u+C)=C{\mathrm{e}}^{4u}-\frac{u}{4}-\frac{1}{16}$。由 $f(0)=0$ 得 $C=\frac{1}{16}$，故 $f(u)=\frac{1}{16}{\mathrm{e}}^{4u}-\frac{1}{4}u-\frac{1}{16}$。