2014 年考研数学（三） 第 16 题

被积含 $\frac{x}{x+y}$ 且区域关于 $y=x$ 对称 → 轮换对称相加，$\frac{x}{x+y}+\frac{y}{x+y}=1$，分母消失。坑：随后配极坐标别忘 $r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$，$\int r\sin \pi r\mathrm{d}r$ 需分部。

本题考查二重积分（对称性 + 极坐标）。 $D$ 是第一象限的四分之一圆环，关于直线 $y=x$ 对称。记 $r=\sqrt{x^2+y^2}$，由轮换对称性 $I={\iint }_D\frac{x\sin \pi r}{x+y}={\iint }_D\frac{y\sin \pi r}{x+y}$，两式相加取半：$I=\frac{1}{2}{\iint }_D\frac{(x+y)\sin \pi r}{x+y}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\frac{1}{2}{\iint }_D\sin \left(\pi \sqrt{x^2+y^2}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

化极坐标（$1\le r\le 2,0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$）：$I=\frac{1}{2}{\int }_0^{\pi /2}\mathrm{d}\theta {\int }_1^{2}r\sin (\pi r)\mathrm{d}r=\frac{\pi }{4}{\int }_1^{2}r\sin (\pi r)\mathrm{d}r$。

令 $u=\pi r$：${\int }_1^{2}r\sin (\pi r)\mathrm{d}r=\frac{1}{{\pi }^2}{\int }_{\pi }^{2\pi }u\sin u\mathrm{d}u=\frac{1}{{\pi }^2}[\sin u-u\cos u{]}_{\pi }^{2\pi }=\frac{1}{{\pi }^2}(-2\pi -\pi )=-\frac{3}{\pi }$。故 $I=\frac{\pi }{4}\cdot (-\frac{3}{\pi })=-\frac{3}{4}$。