2014 年考研数学（三） 第 15 题

变限积分除以别的无穷大、$\frac{\infty }{\infty }$ → 先对分母用等价无穷小化简，再洛必达（分子求导=被积函数）。坑：$x^2({\mathrm{e}}^{1/x}-1)-x$ 要把 ${\mathrm{e}}^u$ 展到二阶才出 $\frac{1}{2}$。

本题考查变限积分求极限（$\frac{\infty }{\infty }$ 型洛必达 + 等价无穷小）。 当 $x\to +\infty$ 时 $\ln (1+\frac{1}{x})\sim \frac{1}{x}$，把它分离出来，原式 $=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{{\int }_1^x[t^2({\mathrm{e}}^{1/t}-1)-t]\mathrm{d}t}{x}$。

这是 $\frac{\infty }{\infty }$ 型，用洛必达，分子求导即变上限积分的被积函数在 $x$ 处的值：$=\underset{x\to +\infty }{\lim }[x^2({\mathrm{e}}^{1/x}-1)-x]=\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^2({\mathrm{e}}^{1/x}-1-\frac{1}{x})$。

令 $t=\frac{1}{x}\to 0^{+}$：$=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{{\mathrm{e}}^t-1-t}{t^2}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{{\mathrm{e}}^t-1}{2t}=\frac{1}{2}$。（或用 ${\mathrm{e}}^{1/x}=1+\frac{1}{x}+\frac{1}{2x^2}+o\left(\frac{1}{x^2}\right)$ 直接得 $\frac{1}{2}$。）