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2014 年考研数学（三）第 14 题

填空题 · 4 分

设总体

X

的概率密度为

f (x; θ) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{2 x}{3 θ ^{2}}, 0, θ < x < 2 θ, 其他,

其中

θ

是未知参数，

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

为来自总体

X

的简单随机样本。若

E (c i = 1 \sum n X_{i}^{2}) = θ^{2}

，则

c =

______。

提示 1

用密度算

E (X^{2}) = \int_{θ}^{2 θ} x^{2} f (x) d x

。

提示 2

各

X_{i}

同分布，

E (c \sum X_{i}^{2}) = c n E (X^{2})

。

提示 3

令其等于

θ^{2}

解出

c

。

答案与详解

答案 $\frac{2}{5 n}$

思路（为什么这么做）

求使

c \sum X_{i}^{2}

无偏估计

θ^{2}

的

c

→ 算

E (X^{2})

，用

E (c \sum X_{i}^{2}) = c n E (X^{2}) = θ^{2}

。坑：是

n

个同分布样本，别漏因子

n

。

解答

本题考查数字特征与无偏估计思想。 先算

E (X^{2}) = \int_{θ}^{2 θ} x^{2} \cdot \frac{2 x}{3 θ ^{2}} d x = \frac{2}{3 θ ^{2}} \int_{θ}^{2 θ} x^{3} d x = \frac{2}{3 θ ^{2}} \cdot \frac{15 θ ^{4}}{4} = \frac{5}{2} θ^{2}

。

由各

X_{i}

同分布，

E (c i = 1 \sum n X_{i}^{2}) = c n E (X^{2}) = \frac{5 n c}{2} θ^{2} = θ^{2}

，解得

c = \frac{2}{5 n}

。

考点：估计量的评价标准（无偏、有效、一致）、数学期望

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