2014 年考研数学（三） 第 13 题

已知正/负惯性指数求参数 → 写二次型矩阵，用特征值符号（或行列式）定范围。坑：$|A|=0$ 的端点要单独验证特征值符号；本题端点也满足，故区间为闭 $[-2,2]$。

本题考查二次型的惯性指数。 二次型矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& a\\ 0& -1& 2\\ a& 2& 0\end{array}\right)$，$|A|=a^2-4$。

负惯性指数为 $1$（恰一个负特征值，其余非负），故 $|A|\le 0$。由 $|A|<0$ 得 $-2<a<2$。

再验端点：$a=\pm 2$ 时 $|A|=0$，由 $|\lambda E-A|=0$ 得特征值 $-3,0,3$，负惯性指数仍为 $1$。故 $-2\le a\le 2$，即 $[-2,2]$。