2014 年考研数学（三） 第 12 题

累次积分出现 ${\mathrm{e}}^{x^2}$ 这类无初等原函数的因子 → 交换积分次序，让「坏」因子被约掉或抵消。坑：$\frac{{\mathrm{e}}^{x^2}}{x}$ 对 $y$ 积、${\mathrm{e}}^{y^2}$ 对 $x$ 积，两个 $\int {\mathrm{e}}^{t^2}$ 相消。

本题考查二次积分（交换积分次序）。 积分区域 $D:0\le y\le x\le 1$。把被积拆成两部分处理。

${\iint }_D\frac{{\mathrm{e}}^{x^2}}{x}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ 对 $y$ 先积（$0\le y\le x$）$={\int }_0^1\frac{{\mathrm{e}}^{x^2}}{x}\cdot x\mathrm{d}x={\int }_0^1{\mathrm{e}}^{x^2}\mathrm{d}x$；${\iint }_D{\mathrm{e}}^{y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ 对 $x$ 先积（$y\le x\le 1$）$={\int }_0^1{\mathrm{e}}^{y^2}(1-y)\mathrm{d}y$。

相减，${\int }_0^1{\mathrm{e}}^{x^2}\mathrm{d}x$ 与 ${\int }_0^1{\mathrm{e}}^{y^2}\mathrm{d}y$ 抵消，只剩 ${\int }_0^{1}y{\mathrm{e}}^{y^2}\mathrm{d}y=\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{y^2}{|}_0^1=\frac{\mathrm{e}-1}{2}$。