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2014 年
2014 年考研数学（三） 第 11 题
填空题 · 4 分
设
∫
0
a
x
e
2
x
d
x
=
4
1
，则
a
=
______。
提示 1
分部积分求
∫
x
e
2
x
d
x
=
2
1
x
e
2
x
−
4
1
e
2
x
+
C
。
提示 2
代入上下限得
4
1
[
(
2
a
−
1
)
e
2
a
+
1
]
。
提示 3
令其等于
4
1
，解出
(
2
a
−
1
)
e
2
a
=
0
。
答案与详解
答案
2
1
思路（为什么这么做）
含参上限的定积分方程 → 先算出积分（分部），再解关于
a
的方程。坑：
e
2
a
>
0
，故只能
2
a
−
1
=
0
。
解答
本题考查定积分（分部积分）与解方程。
分部积分
∫
x
e
2
x
d
x
=
2
1
x
e
2
x
−
4
1
e
2
x
+
C
，故
∫
0
a
x
e
2
x
d
x
=
4
1
[
(
2
a
−
1
)
e
2
a
+
1
]
=
4
1
，即
(
2
a
−
1
)
e
2
a
=
0
。由
e
2
a
>
0
得
a
=
2
1
。
考点：
定积分的计算
、
换元积分法与分部积分法
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