2014 年考研数学（三） 第 10 题

求区域面积 → 画图定边界，选让边界为单值的积分变量。此处两边界都是「$x$ 关于 $y$」，用 $\int \mathrm{d}y$。坑：第二象限 $x<0$，右边界为 $-\frac{1}{y}$、左边界为 $-y$，别弄反。

本题考查平面区域面积（定积分应用）。 曲线为 $y=-\frac{1}{x}$，直线为 $y=-x$，与 $y=2$ 在第二象限围成有界区域。取 $y$ 为积分变量（$1\le y\le 2$），左边界 $x=-y$、右边界 $x=-\frac{1}{y}$。

$A={\int }_1^2(-\frac{1}{y}-(-y))\mathrm{d}y={\int }_1^2(y-\frac{1}{y})\mathrm{d}y=[\frac{y^2}{2}-\ln y{]}_1^2=(2-\ln 2)-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}-\ln 2$。