2014 年考研数学（三） 第 2 题

判断有无（斜）渐近线 → 先看 $\lim y/x$ 是否为有限值，再看 $\lim (y-kx)$。坑：$\sin x$ 无极限（A 无渐近线），而 $\sin \frac{1}{x}\to 0$（C 有）。

本题考查斜渐近线的判定。 斜渐近线 $y=kx+b$ 要求 $k=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{y}{x}$ 与 $b=\underset{x\to \infty }{\lim }(y-kx)$ 都存在。

对 C：$k=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x+\sin (1/x)}{x}=\underset{x\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{x}\sin \frac{1}{x})=1$，$b=\underset{x\to \infty }{\lim }\sin \frac{1}{x}=0$，故有斜渐近线 $y=x$。

A：$y-x=\sin x$ 无极限，无斜渐近线；B、D 含 $x^2$，$\frac{y}{x}\to \infty$，无斜渐近线。故选 C。