2014 年考研数学（三） 第 1 题

看到「$\lim a_n=a\ne 0$，判断 $n$ 充分大时的不等式」→ 用极限定义取 $\epsilon =|a|/2$，得 $|a_n|\in (|a|/2,3|a|/2)$。坑：$\epsilon$ 必须取固定正数，含 $1/n$ 的选项不能由定义保证。

本题考查数列极限的定义（保序性）。 由 $\lim a_n=a$ 得 $\lim |a_n|=|a|$。

取 ${\epsilon }_0=\frac{|a|}{2}>0$，存在 $N$，当 $n>N$ 时 $||a_n|-|a||<\frac{|a|}{2}$，即 $\frac{|a|}{2}<|a_n|<\frac{3|a|}{2}$，故 $|a_n|>\frac{|a|}{2}$，选 A。

选项 C、D 中的 $\frac{1}{n}$ 不是固定正数，无法由极限定义保证；B 与 A 相矛盾。