2013 年考研数学（三） 第 9 题

看到「$nf(\frac{n}{n+2})$ 型」且自变量 $\to$ 某点 $x_0$，$f(x_0)=0$ → 拼成导数定义 $\frac{f(x_0+\Delta )-f(x_0)}{\Delta }$，极限 $=f^{\prime }(x_0)\times$（系数）。坑：先由几何条件定出 $f(1)=0,f^{\prime }(1)=1$。

本题考查切线（几何意义）确定 $f(1),f^{\prime }(1)$，再用导数定义求数列极限。 公共切线 $\Rightarrow$ 两曲线在 $(1,0)$ 处函数值相等且切线斜率相等。

点 $(1,0)$ 在 $y=f(x)$ 上，故 $f(1)=0$；又两曲线在该点切线相同，故 $f^{\prime }(1)=(x^2-x{)}^{\prime }{|}_{x=1}=(2x-1){|}_{x=1}=1$。

令 $\frac{n}{n+2}=1-\frac{2}{n+2}\to 1$。由导数定义：
$\underset{n\to \infty }{\lim }nf\left(\frac{n}{n+2}\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{f\left(1-\frac{2}{n+2}\right)-f(1)}{-\frac{2}{n+2}}\cdot \left(-\frac{2n}{n+2}\right)=f^{\prime }(1)\cdot (-2)=-2$。