2013 年考研数学（三） 第 8 题

求独立离散变量之和 $P\{X+Y=k\}$ → 枚举所有 $x+y=k$ 的取值对，独立时联合概率 = 边缘概率之积，逐项相加。坑：别漏掉 $Y$ 取负值的组合（这里 $(3,-1)$）。

本题考查独立离散随机变量之和的分布（离散卷积）。 枚举满足 $X+Y=2$ 的所有 $(X,Y)$ 取值，用独立性把联合概率拆成乘积再求和。

$X+Y=2$ 的组合有：$(X,Y)=(1,1),(2,0),(3,-1)$。由独立性：
$P\{X+Y=2\}=P\{X=1\}P\{Y=1\}+P\{X=2\}P\{Y=0\}+P\{X=3\}P\{Y=-1\}$。

代入：$=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{3}+\frac{1}{8}\cdot \frac{1}{3}+\frac{1}{8}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{12}+\frac{1}{24}+\frac{1}{24}=\frac{1}{6}$。故选 C。